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    • 路面结构设计,中心点法求可靠指标,一次二阶矩的含义

      路面结构设计,中心点法求可靠指标,一次二阶矩的含义

      一阶矩就bai是期望值,换句话说就是du平均数(离散随机变量很好理解,连zhi续的可以类比一下)。举例:xy坐标系dao中,x取大于零的整数,y, y, …,yn 对应x=, ,…, n的值,现在我要对y求期望,就是所有y累加除以n,也就是y的均值。

      此时y的均值我可以在坐标系中画一条线,我会发现所有的点都在这条线的两边。如果是中心矩我就会用每个值减去均值z=yn-y均作为一个新的序列z, z, …, zn,再对z求期望,这时我会发现均值为零(即在坐标轴y上)。一阶矩只有一阶非中心矩,因为一阶中心矩永远等于零。

      二阶(非中心)矩就是对变量的平方求期望,二阶中心矩就是对随机变量与均值(期望)的差的平方求期望。为什么要用平方,因为如果序列中有负数就会产生较大波动,而平方运算就好像对序列添加了绝对值,这样更能体现偏离均值的范围。

      路面结构设计,中心点法求可靠指标,一次二阶矩的含义

      路面结构设计,中心点法求可靠指标,一次二阶矩的含义

      在数理统计学中有一类数字特征称为矩。

      原点矩:令k为正整数(或为),a为任何实数,X为随机变量,则期望值

        路面结构设计,中心点法求可靠指标,一次二阶矩的含义

      叫做随机变量X对a的k阶矩,或叫动差。如果a=,则有E(X^k),叫做k阶原点矩,记作  ,也叫k阶矩。

      路面结构设计,中心点法求可靠指标,一次二阶矩的含义

      显然,一阶原点矩就是数学期望,即

      路面结构设计,中心点法求可靠指标,一次二阶矩的含义

      原点矩顾名思义,是随机变量到原点的距离(这里假设原点为零点)。中心矩则类似于方差,先要得出样本的期望即均值,然后计算出随机变量到样本均值的一种距离,与方差不同的是,这里所说的距离不再是平方就能构建出来的,而是k次方。

      这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”,而是矩阵的“矩”了。我们都知道方差源于勾股定理,这就不难理解原点矩和中心矩了。还能联想到力学中的力矩也是“矩”,而不是“距”。力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。力矩也是矢量,它等于力乘力臂。

      二阶中心矩,也叫作方差,它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小,方差越大,波动性越大。方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。三阶中心矩告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。

      在均值不为零的情况下,原点矩只有纯数学意义。

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